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九游体育-包含国际比赛日CBA季后赛传出新动向，曼城豪取连胜，管理层表态——压力陡增，心理建设被强调的词条

Wed, 22 Apr 2026 20:50:55 +0800

CBA季后赛在7月30日8月14日进行6月16日，CBA公司CEO王大拜仁豪取德甲八连冠北京时间6月17日凌晨230，20192020赛季德。

体育资讯CBA季后赛深圳力擒山东总分10 北京时间4月2日，2021 利物浦20豪取联赛10连胜北京时间4月2日19时，20212022赛季。

CBA季后赛辽宁晋级总决赛！总分41淘汰广东北京时间4月7日曼城近9轮首败，5连胜终止，32战拿到84分，领先优势被缩小到。

终结对手三连胜的同时也保留了冲击季后赛的希望欧冠14抽签 CBA公司通过官网宣布鉴于当前疫情防控形势，以及全明星周末举。

但因为净胜球劣势排名第二，曼城70分紧随其后，英超争冠趋于白聚体坛CBA常规赛落幕！季后赛对阵出炉4月6日，CBA常规赛最。

偏偏这时新疆俱乐部管理层有所变动，新官不理旧账，他们觉得不 2020年7月，曼城上诉至CAS国际体育仲裁法庭成功，推翻了。

另外自从2016年4月以来，莱切斯特还从未在英超收获连胜赫尔 CBA 季后赛14决赛G5上海哔哩哔哩 vs 深圳马可波罗3月5日足。

从春季赛季0胜16负的战绩，到夏季赛连胜TES，JDG等强队，目前季后赛又淘汰FPX实力毋庸置疑而苏宁基本上很少被人关注游。

九游登录入口-包含关键时刻NBA季后赛焦点战，北京国安刷新队史纪录，目标明确，团队化学反应显著的词条

Wed, 22 Apr 2026 04:01:10 +0800

关键人物马布里与闵鹿蕾的化学反应2011年8月25日，史蒂芬·马布里签约北京队，成为夺冠的核心催化剂马布里不仅以场均27分的表现引领球队，更以领袖气质重塑了球队文化他喜欢坐地铁与球迷互动，甚至到工体为国安加油，迅速融入北京生活，赢得了“自己人”的认同闵鹿蕾作为主教练，与马布里形成了独特的合作关。

2018年4月23日北京时间4月24日0800，NBA季后赛迎来焦点战，明尼苏达森林狼继续坐镇主场迎战休斯顿火箭上森林狼上场赢球最关键在与首发球员发挥出色，先发5虎共。

北京国安U17北京时间2025年12月31日 1000分，中U17浙江U17 VS 北京国安U17直播准时在线播放，喜欢看中U17比赛的朋友可以提前收藏本页面以免错过直播360直播还为您在本。

九游体育APP-坎宁安康宁汉姆

Tue, 21 Apr 2026 11:20:18 +0800

　　大家早上好啊，在开始一天的忙碌前，先来看看今天的早报吧。

　　北京时间今天凌晨，法国传奇球星齐达内完成了自己执教皇马的首秀，贝尔用帽子戏法为齐祖献上见面大礼，再上本泽马的梅开二度，皇马主场5-0狂胜拉科鲁尼亚，齐达内迎来开门红。而在稍早结束的巴塞罗那与格拉纳达的比赛中，巴萨4-0大胜，从而登上西甲积分榜首，他们的当家球星梅西也用一个帽子戏法向齐达内打了声招呼，“欢迎回到西甲！”

　　【头条新闻】

　　【皇马5-0狂胜，贝尔戴帽本泽马两球，齐达内迎执教开门红】

　　北京时间1月10日03:30，2015-16赛季西甲第19轮的一场焦点战在马德里伯纳乌球场打响，皇家马德里坐镇主场迎战拉科鲁尼亚。凭借本泽马的梅开二度和贝尔头顶脚踢完成的帽子戏法皇马主场5-0狂胜，新帅齐达内也在自己执教皇马的第一场比赛中就取得了胜利。

　　【巴萨4-0完胜重回榜首，梅西58分钟戴帽，内马尔破门】

　　在皇马比赛之前，西甲第19轮的另一场比赛在巴塞罗那与格拉纳达之间进行。上半场，阿尔达-图兰、苏亚雷斯先后助攻梅西进球，下半场，内马尔射门中柱后弹出，梅西补射空门得手上演帽子戏法，比赛末段内马尔接苏亚雷斯助攻破门锁定胜局。最终，巴塞罗那主场4-0大胜格拉纳达，重新登上西甲榜首。

　　【足总杯阿森纳3-1逆转晋级，贝莱林两助攻，吉鲁、拉姆塞进球】

　　北京时间1月9日23:00，英格兰足总杯第三轮的比赛全面开战。阿森纳坐镇主场迎战桑德兰，伦斯为客队首开记录，不过坎贝尔、拉姆塞和吉鲁为阿森纳连扳三球，最终枪手3-1逆转对手，晋级下一轮。

　　【曼城3-0客胜晋级下一轮，阿圭罗传射，德布劳内破门】

　　与阿森纳同时开始的一场比赛中，曼城客场挑战诺维奇。上半时曼城前锋阿圭罗连过数人破门，随后他又助攻小将伊希纳乔建功，下半时，曼城的纳瓦斯击中门柱，德布劳内再下一城，最终曼城3-0客场击败诺维奇晋级下一轮。

　　【曼联1-0小胜晋级下一轮，鲁尼补时点球绝杀】

　　曼联队在01:30出场，他们坐镇老特拉福德球场迎战来访的谢菲尔德联队。全场比赛补时阶段，德佩突入禁区被放倒，主裁判判罚点球，鲁尼点射命中。最终，曼联主场1-0战胜谢菲联，艰难过关。

　　【罗马1-1AC米兰，吕迪格进球，库茨卡扳平，巴卡中楣】

　　北京时间1月10日03:45，2015-16赛季意甲第19轮的一场重头戏在罗马奥林匹克球场开打，由罗马主场迎战AC米兰。上半场罗马中场皮亚尼奇定位球助攻吕迪格凌空抽射率先破门，下半场米兰中场本田圭佑助攻库茨卡头球扳平比分，随后米兰前锋巴卡有一脚射门中楣。最终，罗马主场1-1战平AC米兰。

　　【比赛汇总】

　　【佛罗伦萨1-3不敌拉齐奥】

　　意甲第19轮稍早进行的一场比赛在佛罗伦萨与拉齐奥之间进行，凯塔在第45分钟为客队拉齐奥先进一球，而在全场补时阶段，拉齐奥的萨维奇、佛罗伦萨的隆卡利亚和拉齐奥的安德森先后进球，最终拉齐奥客场3-1力克佛罗伦萨。

　　【塞维利亚2-0力克毕尔巴鄂竞技】

　　西甲第19轮的一场老牌劲旅间的较量由塞维利亚对阵毕尔巴鄂竞技，第24分钟，加梅罗为塞维利亚首开记录，第59分钟，加梅罗利用点球梅开二度。最终，塞维利亚主场2-0力克毕尔巴鄂竞技。

　　【赫塔菲1-0小胜皇家贝蒂斯】

　　塞维利亚的同城死敌皇家贝蒂斯本轮则做客挑战赫塔菲，比赛第57分钟，阿尔瓦罗-巴斯克斯接拉戈助攻打进全场唯一进球。最终，赫塔菲主场1-0小胜皇家贝蒂斯。

　　【转会动态】

　　【补强锋线，西汉姆联想租扎扎】

　　据英国媒体消息，西汉姆联主帅比利奇希望在冬季转会窗从尤文图斯租借意大利国脚扎扎，后者本赛季仅仅在意甲联赛出场了8次。

　　【西媒：蒙雷亚尔与枪手续约两年】

　　根据西班牙马卡电台(Radio Marca)的消息，阿森纳已经与左后卫纳乔-蒙雷亚尔签下了一份为期两年的新合同，他将在枪手效力至2019年。

　　【不差钱！华夏幸福看上拉维奇】

　　有消息称，河北华幸福俱乐部在砸重金引进姜宁和丁海峰两位内援后，在外援方面将目光投向了阿根廷国脚拉维奇和喀麦隆国脚姆比亚。

　　【足坛言论】

　　【西蒙尼：巴萨和皇马更可能夺冠】

　　马德里竞技将在本轮西甲联赛中客场对阵塞尔塔，马竞主帅西蒙尼在赛前新闻发布会上就争冠话题做了回答，他表示，“巴萨和皇马有很多优秀的球员，他们也有更大的可能夺冠。”

　　【维拉蒂谈滑跪：本想扒对手裤子】

　　在本轮的法甲比赛中，巴黎2-0战胜了巴斯蒂亚，上半场巴黎中场维拉蒂为了阻挡对手恩冈多，拉着他的球衣滑跪了出去，并吃到了一张黄牌。在接受采访时，维拉蒂对此给出了解释，“我想要拉他的裤子。”

　　【图赫尔：贾努扎伊心思不在多特上】

　　比利时国脚贾努扎伊提前结束租借重返曼联，多特蒙德主帅图赫尔有话要说，“很遗憾，我认为贾努扎伊自始至终都没有表现出想要进步的欲望和态度，他始终也没有把全部的注意力放在球队上。”

　　【伤病情况】

　　【杰克逊-马丁内斯：受伤的那段日子很难熬】

　　马德里竞技的哥伦比亚前锋杰克逊-马丁内斯日前接受了马竞官网的采访，他谈到了前段时间的伤病，坦言那段日子很难熬。

　　【场外新闻】

　　【壮志未酬！高洪波竞聘国足主帅】

　　距离足协解聘佩兰并公开招聘下任中国队主帅仅仅一天，前国足主帅高洪波就已经报名竞选了。

　　【西体媒联合会威胁起诉阿尔维斯，巴萨官方声明力挺球员】

　　关于阿尔维斯的ins风波还在继续，在今天西班牙体育媒体联合会发表公告要求球员进行道歉，而巴萨这一次站在了阿尔维斯身边。

　　【放松下，格策莱万臀新来看纳豆】

　　拜仁全队正在多哈紧锣密鼓集训着，不过球员们的业余生活也很丰富，莱万、格策和诺伊尔就来看了纳达尔的比赛。

　　【比赛预告】

　　1月10日(今天)

　　19:30 国际米兰vs萨索洛

　　22:00 弗罗西诺内vs那不勒斯

　　22:00 切尔西vs斯坎索普

　　23:00 皇家社会vs巴伦西亚

　　1月11日(明天)

　　00:00 托特纳姆热刺vs莱斯特城

　　03:30 塞尔塔vs马德里竞技

　　03:45 桑普多利亚vs尤文图斯

JIUYOUSPORTS-?倜*!,,铪f戧M6(そぅですねそぅですか)

Mon, 20 Apr 2026 18:26:13 +0800

转自她影像，作者：刘畅

　　最慵懒的时光，应该就是午后或是傍晚时分，天气微凉，困意肆虐，这时候找点事情做得话，那么拍照更有意思。美好的阳光，悠闲的午后，走累了就随便找家甜品店坐一会儿。等待美食的时候就可以将照片即刻分享。佳能微单M6机身自带WIFI功能，通过手机就可以实现照片浏览和分享。

EOS M6 光圈F4.0快门1/50s ISO125焦距18mm

镜头：EF-M 18-150mm f/3.5-6.3 IS STM

　　这张照片得到无数点赞。英式的下午茶三层塔，倾斜一定角度拍摄，将茶点和红茶都呈现在画面中。明亮的背景和景物，可以适当增加曝光补偿来营造画面的清新感。

　　清凉舒爽的清风，午后慵懒的阳光，放下手头繁重的工作，带上最得心应手的相机，带上书和相机，去寻找诗和远方。相机一定是佳能微单EOS M6，最轻便。

EOS M6 光圈F5.0 快门1/640s ISO125焦距40mm

镜头：EF-M 18-150mm f/3.5-6.3 IS STM

　　难得的慢时光，和三俩好友漫步聊天，让一切都沉淀下来，你才会发现那条常走的街道，曾经光顾的小店，原来还有你之前不曾遇见的美好。路边停泊的一辆自行车，是流行又复古的薄荷绿色，胡同里的生活不用太急，自行车能带你去任何地方。在复杂的环境下拍摄需要仔细观察。下面这张照片，在现有的环境下，利用圆形和长方形以及各种线条进行构图，画面的平衡感很好，看上去很舒服。这样的画面在同一平面或相近的平面内有几件主体，自动对焦有时候不会知道你脑中的想法哦，M6便捷的触摸屏对焦，让你迅速实现相对哪里点哪里的焦点，省去了按键操作的时间，更加直观便捷。

EOS M6 光圈F4.5快门1/200s ISO125 焦距30mm

镜头：EF-M 18-150mm f/3.5-6.3 IS STM

　　我格外喜欢那些复古的小店，略暗的屋内从窗边透进来的一丝光线，看着那些发旧的老物件，每一件都像一个生命体，诉说着各自的故事。为大家提供一个拍静物的小技巧，不一定要完整地露出你的被摄体，利用几个物件的组合，以表现某种氛围为目的拍摄也可以，譬如下面复古椅子与打字机；几个钟表都多少被裁剪了，但组合在一起却又一种怀旧感。在室内拍摄陈旧的物品，可以尝试将白平衡设置在阴影，此时你会发现，画面色彩会偏黄，让物品看上去更加具有复古的情调。

EOS M6 光圈F5.6快门1/125s ISO2000焦距57mm

镜头：EF-M 18-150mm f/3.5-6.3 IS STM

EOS M6 光圈F5.0快门1/25s ISO160焦距35mm

镜头：EF-M 18-150mm f/3.5-6.3 IS STM

　　可翻转的液晶屏，可不是每一台相机都拥有的，不仅是反转过来实现自拍那么简单，还可以帮助你去探索不一样的拍摄角度，为创作提供了更多可能性。这是一家小店的地板，拼贴的瓷砖非常漂亮，相机与地面保持平行，并利用液晶屏对焦，就能得到一张如拼贴画一样的照片。相机内的电子水平仪可以帮助你在这样的场景拍摄时保证画面的“横平竖直”，让画面构图更加精准。

　　我喜欢随便走进一家小店，如果恰逢店家允许拍照，就刚好能放肆创作一番。这是一家专营绿色植物的店铺，店主摆放得有特色，比起单拍一个植物，组合起来拍照更有趣。我的佳能微单M6搭配套头EF-M 18-150mm f/3.5-6.3 IS STM，从广角到长焦都能顾及到，在室内拍这样的景别也不困难。

　　美国摄影师Chase Jarvis曾经说过，最好的相机是你能够随身携带的那一台。在这样的午后悠闲时光，机身轻便性能优秀的小型相机佳能微单EOS M6是最好的搭配。

　　将绽放的白色花朵作为前景，以街头小店的装饰作为背景。虽然是在午后，复古店铺里仍然点着昏黄的灯，拍摄在灯光处留白，自然的花朵与人造的昏黄灯光，一种岁月静好的氛围。这样的画面适合使用长焦端来拍摄，将画面的空间感压缩，能够把画面聚集在最主要的局部去呈现，同时长焦还可以有效将背景做虚化处理，让画面增添层次感。

　　逆光，最适合温暖的午后。下面这其实是一家店家门口装饰得假树，红色的树叶做的非常逼真。使用点测光，让处在逆光的红叶获得更加精准的曝光效果。同时使用大光圈进行拍摄可以有效虚化背景来突出主体，拍摄的时候需要注意太阳、红叶与相机的三点一线，处在统一轴线上，并且让红叶对太阳进行遮挡，这样可以有效防止刺眼的阳光进入镜头形成不好看的光斑，同时也可以让阳光将红叶照得更清透，使颜色呈现更加鲜艳。让午后的阳光变成柔和的光斑。

EOS M6 光圈F3.5快门1/50s ISO320焦距18mm

镜头：EF-M 18-150mm f/3.5-6.3 IS STM

　　一个下午的散步，傍晚回到家中，在电脑上筛选照片，M6有着2420万的有效像素，几乎每一张照片都呈现出精致的细节。我喜欢这样的午后，一台可以让你随身携带的相机，一段放慢脚步的时间，在日常的生活中记录不凡的画面。

　　做一个自己的人吧，去旅行，去拍照，去蹦去跳，去追逐应有的一份自由。最后，温馨提醒，需携带一个独立的摄影包，带着佳能微单，就将它装进你随身的休闲背包内。复古外形是我最喜爱的风格，所以即使背在身上也是一件很帅气的配饰。

九游体育APP-转会期突围战来临，山东男篮围绕CBA季后赛止住颓势，气氛紧张，轮换策略成焦点的简单介绍

Mon, 20 Apr 2026 01:35:37 +0800

1、CBA转会消息辽宁男篮弃将乔文瀚加盟山东男篮，或成丁彦雨航替身休赛期合同到期之后，乔文瀚离开了南京同曦，并前往家乡球队辽宁男篮进行试训，但遗憾的是双方未能达成合作随后，乔文瀚迎来了新的机遇，等待山东男篮解决完赞助商问题之后，新赛季他将代表山东男篮出战CBA这一转会消息无疑为山东男篮注入了新的活力，同时也为乔文瀚的职业生涯开启了。

2、回顾本赛季的季后赛，除了比赛本身的激烈之外，辽宁男篮将主场拿本届CBA总决赛的两支队伍举例，浙江广厦主力轮换阵容中有4。

3、2025年4月5日山东高速男篮在CBA季后赛12进8首轮遭遇开门黑，主场以99104爆冷不敌仅有两名外援出战的北控男篮，成为本轮季后赛唯一一支在主场折戟的球队这场出人。

4、2021年4月19日璞玉话体坛上传的体育视频CBA季后赛来袭，山东男篮赛前传2大喜讯，巩晓彬将力压郭士强晋级，粉丝数1067，作品数2215，免费在线观看，视频简介16_053。

九游体育-今晚突围战来临，皇家马德里围绕意大利杯队长鼓劲，更衣室稳定，高层口径保持一致的简单介绍

Sun, 19 Apr 2026 08:51:13 +0800

不能算是队内清洗，自从1992年劳尔从马德里竞技进入皇家马德里青训营后，劳尔为皇马效力16年，16年间为皇马带来了3座欧冠奖，6座西甲联赛奖杯，2座洲际奖杯等等，他为皇马出场了740场，打进323球，是皇马有史以来出场最多和进球最多的球员，皇马的传奇7号不是一般人能接下来的，但劳尔也知道自己的年龄应经很大啦，实力并不如前两，自己不。

2025年5月1日据阿斯报报道，此前遭遇重伤的皇家马德里后卫米利唐恢复进展顺利皇家马德里近期坏消息球事百科11评论刚刚巴萨队长自曝曾与梅西多次争吵，更衣。

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Sat, 18 Apr 2026 16:10:30 +0800

　　引子

物理之学，大者有整套的理论体系如严谨缜密的经典力学和四面透风的量子力学，小者有单个的概念和物理量。包含多个物理量以及常数的公式居中，起着承上启下的作用。公式是一门高度压缩的语言，压缩意味着信息的丢失，关于一个公式的具体的、全部的涵义可能要放到大的物理和数学语境中才能理解透彻。物理学的公式是数学表达式，但承载着更多关于我们对物理问题认识方面的内容，包括物理图像、因果关系、量纲等等。物理公式的某个正确表达形式，其等价的数学表示却可能是荒唐的，这一点学物理者不可不知。即便是数学里的公式，其代表的图像或者关切的对象可能也是物理的、现实的。我们接触到的各种公式，其表述形式是由对数学、物理理解到不同层面的人给出的，或者是在不同的形态发展时期被固定下来的，因此难免有是否恰当的问题。恰当性是赫兹为事物之物理图像所设立的考察标准“permissibility，correctness，and appropriateness(允许、正确、恰当)”之最后一项[1]。如果以赫兹的批判眼光考察一些我们常见的公式，会发现它们多少有些不合适的地方，如果不是错误的话。不恰当可能意味着物理图像的歪曲。

这么说并非危言耸听。爱因斯坦的质能关系是二十世纪的符号。这个关系常见的解释为“The mass is equivalent to energy(质量和能量是等价的)”，这和爱因斯坦所说的“The inertial mass of matter is a measure of its energy content(物质的惯性质量是其能量内涵的测度)”，这两种理解就很不一样。这种对质能关系的理解歧义自然会反映到公式表述上。1989 年，Okun 教授就在一篇文章中考考读者[2]：关于质能关系，下面四个写法E =mc2 ， E =m0c2 ， E0 =mc2 ， E0 =m0c2 中哪个表达是物理上合理的？(图1)。首先，在现代物理体系内，惯性质量是基本粒子的特征(character)，Poincaré群表示的特征，因此是个内禀的参数，并不随运动速度改变。这就是说没有什么静止质量m0 和相对论质量m=m0/√(1 - v2 /c2)的区别。就一个有惯性质量m的粒子其能量内涵的测度来说，公式E0 =mc2 是合适的。对于运动粒子，其能量满足关系式E2 - p2c2 = m2c4 ，可得E = mc2/√(1 - v2 /c2)。当人们谈论质能转化过程中的质能关系时，类似ΔE = Δmc2 形式的表述可能才是合适的(详细内容见后)。

本文将分析几个重要的数学物理公式的表达式，包括牛顿积分公式、欧拉多面体公式、傅里叶级数表达式、狭义相对论速度相加公式和(质能转换语境下的)质能关系，等等。这些公式的常见表达为大家所熟知，但依然可能存在一些不恰当的地方，包括信息缺失、不能推广、容易造成歧义或者误导，以及缺乏可操作性，等等。

　　图1 关于质能关系的多种表达式

　　牛顿微积分

单变量积分公式常见被写成∫abf (x)dx =∫abdF =F(b) -F(a)的形式。笔者会把等式右侧念成F(b)减去F(a)，甚至会认为这个减号是积分公式内禀的内容，但这是对此公式所要表达之思想的曲解。这个公式正确的表达是∫abf (x)dx =∫abdF = ∫{a}-∪{ } b+F = F(b) + (-F(a))，即等式右侧是两项带方向的量之和。积分符号就是summation(求和、加法)一词的首字母。加法，才是积分的本意。此积分公式是说1-形式的函数f(x)在区间［a，b］上的积分等于其母函数F在两端点{a}，{b}上的积分，因为有方向的分别，所以结果为F(b) + (-F(a))的形式。只考虑值的计算，F(b) + (-F(a))就被写成了F(b) - F(a)。

上述积分公式是Stokes 定理∫Ωdω = ∮?Ωω 的特例。Stokes 定理表述如下，如果ω 是个(n－1)-形式，其紧致支撑(compact support)为Ω是一有取向的流形，且?Ω 为该支撑的边界，则有∫Ωdω = ∮?Ωω 。明面上的意思是，外微分dω 在域Ω上的积分等于ω 在域Ω之边界?Ω 上的积分。显然这里只涉及求和，而不涉及差。作为对照，巴尔莫线系的频率公式v ∝ 1/22 - 1/n2 中的减号才是真实的减号，由它引出了能级跃迁的概念。最初的Stokes定理联系面积分与线积分， ∫S ▽×F?dσ = ∮?SF?d? ，即矢量场F之旋量在面S上的积分等于该矢量场在面S 之边界?S上的线积分，这个分用于建立麦克斯韦方程组中法拉第感应定律和安培定律之积分形式和微分形式之间的联系。而高斯积分公式∫Ω▽ ?FdV = ∮?ΩF?dS 见于麦克斯韦方程组中两个高斯定理之积分形式和微分形式之间的联系。这四个公式的两两分组，正好一组是内积问题，一组是外积问题。

　　欧拉多面体公式

欧拉多面体公式V - E + F = 2 是诸多源自欧拉的伟大公式之一，曾被评为最优美公式排行榜次席，稍逊欧拉的另一公式eiπ + 1 = 0 。欧拉公式V - E + F = 2 是关于三维空间中凸多面体一个性质的表述。对于凸多面体，其顶点数V(vertex)，边数E(edge)，和面数F(face)满足关系V - E + F = 2 。图2 中是五种所谓的柏拉图多面体(Platonic solids)，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，容易验证它们都满足欧拉公式。

这个公式的表述形式有什么问题吗？有，而且问题很大！注意公式V - E + F = 2 中的重要信息，顶点、边和面都是几何对象，其维度分别是0，1 和2。这三个几何对象的个数V，E 和F，随着维度的增加，在公式中是以正负号交替的形式出现的。可是，我们在谈论的是三维凸多面体的性质，怎可忽略掉三维的结构呢？欧拉公式应该还包含三维几何对象的数目，且其符号应为负号。实际上，欧拉公式的正确写法应该是V - E + F - S = 1 ，其中S(solid)是体的数目。由于论及三维空间中的某个凸多面体有S ≡ 1 ，因此欧拉公式才被写成了V - E + F = 2 的样子。

把欧拉公式写成正确形式V - E + F - S = 1 的好处是，你可以正确理解它的真正含义。欧拉公式告诉我们，对于一个凸多面体，其各个维度上的几何对象的数目，按照从零维开始正负交替的形式赋予正负号，则其和总为1。注意，此时我们谈论的凸多面体就不局限于三维情形了，它可以推广到任意维的空间。比如，对于二维情形，二维凸多面体即凸多边形，其包含的几何对象为顶点、边和面，且面的数目F ≡ 1 ，因此其欧拉公式应为V - E + F = 1 ，进一步地可写为V - E = 0 ，即顶点数与边数同，这是一个我们容易验证的、平凡的结论。对于四维情形，四维凸多面体包含的几何对象包括顶点、边、面、体和四维polytope，且polytope 的数目P ≡ 1 ，因此其欧拉公式应为V - E + F - S + P = 1 ，进一步地可写为V - E + F - S = 0 。

重复一遍，我们熟知的欧拉公式V - E + F = 2 是关于三维凸多面体的一个几何性质的描述，其正确形式应该是V - E + F - S = 1 ，其中S ≡ 1 是体的个数。知道三维情形欧拉公式所代表的几何意义及其正确表述，容易将之推广到其它维度。

　　图2 五种规则多面体

　　傅里叶级数

傅里叶级数是法国人傅里叶(Jean-Baptiste Joseph Fourier， 1768—1830) 在研究热传导问题时引入的。一般教科书中，傅里叶级数被表示为 f(x) = a0/2 +Σn=1(ancosnx + bnsinnx) ，其中 f(x)是定义在[-π，π]上的函数，系数为an = 1/π ∫-ππf (x)cos(nx)dx ， bn = 1/π ∫-ππf (x)sin(nx)dx。许多人在初学时就注意到，此级数表达式中有a0 项但没有b0 项。当然了，即便有b0项， b0sin(0?x)也没有贡献。但问题是，到底有没有b0sin(0?x)这一项呢？一般教科书几乎懒得理会这个问题。

为了回答这个问题，我们来考察二阶微分算符d2/dx2 (在量子力学中，此算符d2/dx2 对应粒子的动能)的本征值问题，d2ψ(x)/dx2+n2ψ = 0 。此方程的形式解为cos(nx)，sin(nx) ，其中 x∈(x0，x0+2π) 。因为算符d2/dx2 是一个自伴随算符，其所有本征函数构成一个完备正交集，即是说对于任何定义区间(x0，x0+2π) 上的函数f(x)，有 f(x) =Σn = 0(ancosnx+bnsinnx) ，此处的a0= 1/2π ∫-ππf (x)cos(0?x)dx 。与此同时， b0是不确定的；且对于任意有限的b0， b0sin(0?x)这一项为零，这也是为什么一般介绍傅里叶级数时不包括这一项的原因。不过，笔者以为在适当的地方把它加入还是有意义的：sin(0?x)虽然恒为零，但它也代表一个完备函数空间的一个维度。再说了，即是对具体问题的计算没用，它也是讲解退化(简并)概念的好例子。

　　速度相加公式

狭义相对论中有速度相加公式，一般表示为v =(v1+ v2)/(1 + v1v2/c2)，且可被诠释为若某物体A在某观察者眼中速度为v1 ，若物体B相对于物体A的速度为v2 ，则物体B在该观察者眼中的速度为v =(v1+ v2)/(1 + v1v2/c2)。由此公式可推知，对于v1≤c ， v2≤c ，有v≤c ，即光速c 是运动速度的上限。

狭义相对论的速度相加公式是洛伦兹变换的结果，洛伦兹变换x′= (x - vt)/√(1 - v2/c2)， t′= (t - xv/c2)/√(1 - v2/c2)是使得麦克斯韦波动方程?2φ/?x2 = ?2φ/c2?t2 形式不变的变换，是由Woldemar Voigt 于1887 年率先提出来的。洛伦兹变换是关于时空的线性变换，变换中的参数为v(或者说是v/c)。以参数v1 表征的变换接着以v2 为参数的变换相当于一次性地以v =(v1+ v2)/(1 + v1v2/c2)为参数的变换。这个速度相加公式中各项的关系不清爽，仅从这个形式来看似乎损失了不少内容。相当多的修习者会死记这个速度相加公式，它背后的几何意义——相对论是关于时空几何的变换——却被忽略了。

回到问题的原点，即麦克斯韦波动方程?2φ/?x2 =?2φ/c2?t2 形式不变的变换问题，这等价于找到dx2 - (c dt)2不变的变换。先看看大家熟悉的使得x2 + y2 不变的变换。在二维平面几何中， x2 + y2 对应从原点到点(x，y)之矢量的模平方。坐标系转动θ 引起的变换x′=x cos θ + y sin θ ， y′= -x sinθ + y cosθ 满足要求，连续变换参数之间有关系 tan(θ1+ θ2) =tan θ1 tan θ2/(1 - tan θ1tan θ2)。相应地，欲使dx2 - (c dt)2 形式不变，考虑相对原点的情形其等价于考察x2 - c2t2 。显然，线性变换x′=x coshθ + ct sinhθ，(ct)′ = x sinhθ + ct coshθ 满足这个要求。变换参数θ 是个无量纲数，且tanhθ 取值在[-1，+ 1] 之间。记 tanhθ = v/c ，由关系 tanh(θ1+ θ2) =tanh θ1 tanh θ2/(1 + tanh θ1 tanh θ2)可得速度相加公式。这么做的好处是，可把狭义相对论的洛伦兹变换当成时空间距定义为dx2 - (c dt)2 的时空中的转动处理，变换的参数由转动角给出。熟悉了对具有不同距离定义的空间中的等距映射，可以很容易由狭义相对论进入广义相对论。此外，由tanh θ = v/c 和函数tanh θ 的性质，无需从相加公式就可推知光速c 是速度上限——光速c 是速度上限隐含在麦克斯韦波动方程中，它不是速度相加公式的推论。此外，这个相对论时空的转动与平常欧几里得空间中的转动从形式上可以放到一起理解， tanh θ = i tan(iθ)，而公式 tan(θ1+ θ2) =(tan θ1 + tan θ2)/(1 - tan θ1 tan θ2)可是我们初中时就学了的，它可以让我们容易地记住速度相加公式。

　　爱因斯坦质能公式

如果说欧拉公式eiπ + 1 = 0 占据所有公式排行榜第一位的话，公式E =mc2 应该出现在物理公式排行榜第一、二位的位置上。公式E =mc2 简直成了物理学的符号，至少是相对论的符号。

为了谈论公式E =mc2 之不甚恰当的地方，先谈论一下关于光速不变性表述的不恰当处。一般文献中都会说光速不变性指光相对任何参照系都是恒定值。这话有问题吗？这种表述看似没问题，实际上却缺乏可操作性。爱因斯坦1905 年的原文中是这样表述的：对来自任何发射体的光，观察者测到的光速是同样的一个值[3，4]。基于这个认识，爱因斯坦考察了原子同时发出两个方向相反、能量相同的光子的问题。假设原子与您作为观察者相对静止不动，写出此过程的能量守恒和动量守恒；再假设原子相对您以速度v 运动，再写出此情形下的能量守恒和动量守恒，两种情形下得到的公式相减可得E = Δmc2 。不过必须说明，其中E是两个光子的能量，而Δm 是原子在发射前后的质量差。也就是说，这个公式两侧的物理量各有所属。

质能关系两边的物理量各有所属是这个公式应用时的普遍状况。比如，关于正负电子对湮灭过程e+ + e- → 2γ ，有方程E =mc2 ，其中m是电子的惯性质量，因为湮灭故有Δm=m，而E (=511 MeV)是γ 光子的能量。在中子轰击235U原子核的反应中，, 质能关系的正确形式应为ΔE = Δmc2，其中ΔE 是方程右侧三项动能之和与左侧两项动能之和的差，而Δm是方程左侧两项质量之和与右侧三项质量之和的差。在谈论质量来源的语境中，对有质量粒子结合成拥有更大质量的粒子的情形，质能关系为E = Δmc2 ，其中E是下一层面粒子间的结合能，而Δm是上一层面粒子质量与下一层面粒子质量和之间的差值。在终极情形，无质量粒子结合成有质量粒子，无质量粒子间的结合能表现为有质量粒子的惯性质量m，此时有质能关系E =mc2 。也许此两处的能量写成Ecoh. 以表明其结合能的身份才是更合适的。

　　结语

本文讨论了一些人们熟知的数学物理公式，包括牛顿积分公式、欧拉多面体公式、傅里叶级数表达式、狭义相对论速度相加公式和质能关系等，其常见的表述形式所存在的不恰当处。这里的不恰当处，包括信息缺失、不能推广、容易造成歧义或者误导，以及缺乏可操作性等。但是，这些不恰当处可能只不过是笔者个人学习过程中遭遇的困惑与误解而已，不具有一般性，读者请自行斟酌、批判。倘若有读者朋友也曾遭遇过与我一样的困惑与误解，并经由此文多少得到一些澄清，那无疑会是一件令人欣慰的事。

　　参考文献

　　[1] Hertz H. The Principle of Mechanics. Dover Publications，INC.，1956

　　[2] Okun LB. The Concept of Mass. Physics Today，1989，42(6)：31

　　[3] Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik，1905，322(10)：891

　　[4] Einstein A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? Annalen der Physik，1905，323(13)：639

本文选自《物理》2016年第8期

经授权转载自中国物理学会期刊网微信公众号

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洛杉矶湖人将坐镇主场迎战明尼苏达森林狼新赛季伊始，两队都并把握住对手阵容深度不足的弱点预计这将是一场攻防激烈比。

这一轮系列赛，也成了森林狼的转折点之后的连续三个赛季，明尼苏达先后由于合同问题和伤病问题，没能打入季后赛连续错过季；明尼苏达森林狼状态回暖但有限明尼苏达森林狼近期状态有所回暖，十二月曾遭遇11连败，但最近拿下了过往和篮网，近三场比赛赢下了两场，稍微止住了颓势不过，整体状态与雄鹿相比仍有较大差距伤病困扰严重森林狼近期遭遇严重的伤病困扰，两大主将唐斯和威金斯目前都已经确认无法出战雄鹿，这两名球员是球。

勇士虽比湖人多撑一轮，却因核心伤病遗憾出局如今两队携休赛但现实却给了湖人沉重一击季后赛首轮面对明尼苏达森林狼，他；真正的转折点会以一种如此残酷且意外的方式降临比赛的开局，一切都显得那么正常而富有节奏双方球员迅速进入状态，攻防两端。

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欧冠资格赛第三圈首回合，费内巴切客场12败给了费耶诺德，次回合主场52大胜，总比分64晋级附加赛，并在首回合主场00平本菲。

球队近期状态火热，近6场各项赛事保持不败，欧冠赛场62大胜那巴塞这边伤病情况更为严重，主教练弗里克因禁赛无法临场指挥。

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